\def{integer a=randint(2,3,4)}
\def{integer xS=randint(-1,1)*randint(2,4)}
\def{integer yS=randint(-1,1,2,3)}
\def{text s=\yS>0? + : }
<p>
Les paraboles sont des objets gomtriques auxquels on peut appliquer
des transformations gomtriques, notamment des translations.
Celles qui ont un axe vertical ont une quation du type
\(y = a*x^2 + b*x + c) avec \(a \neq 0) dans un repre orthonorm donn.
Ce sont aussi les courbes des fonctions trinmes.
Chaque transformation gomtrique va modifier la formule du trinme associ.

Comprendre le lien entre les transformations et les fonctions associes permet de
trouver une formule de fonction  partir d'une fonction de rfrence en observant
les points particuliers de sa courbe.

C'est l'enjeu de l'exercice "La fuse retarde 1".

<p>Il faut d'abord que la courbe de la fonction soit une parabole d'axe vertical.
puis reprer les coordonnes \((x_S ; y_S)) du point d'intersection
de cet axe avec la parabole,
reprer si ce point correspond  un minimum ou un maximum,
ce qui donne le signe de \(a) (respectivement positif ou ngatif).
</p><p>
La courbe est alors l'image de celle de la fonction \(x \mapsto a x^2)
par la translation de vecteur \(x_S \vec{i} + y_S \vec{j}) et la formule de la fonction est :
</p><div class="wimscenter">
 \(f(x) = a (x - x_S)^2 + y_S).
 </div><p>
Pour dterminer \(a), on peut remarquer que \(f (x_S + 1) - f (x_S) = a),
ce qui ressemble  la technique du coefficient directeur mais n'est valable
qu'en partant du sommet \(S)
de la parabole et seulement pour le point d'abscisse \(x_S + 1).

D'ailleurs \(a) ne s'appelle pas le coefficient directeur du trinme mais on peut
l'appeler le coefficient du carr.
</p><p>
Savoir trouver la forme canonique  partir d'une expression algbrique
permet de rsoudre des problmes de gomtrie.</p><p>
La formule d'un trinme peut reprsenter l'aire d'une surface constitue de figures gomtriques ;
en effet si \(x) peut reprsenter une longueur, \(x^2) reprsente l'aire du carr de ct \(x),
et \(x =) 1 \(x) reprsente l'aire du rectangle de cts 1 et \(x).
C'est une autre faon de voir les formules algbriques et cela peut permettre
de se rappeler les identits remarquables.
</p><div class="float_right">
<img alt="Garon nomm G.O.Maitrie" src="\filedir/geom.png" />
</div>
<h3 class="l2w_content exemple">Exemple</h3>
  <div class="l2w_content exemple">
\(a=\a)&nbsp;\(x_S = \xS)&nbsp;\(y_S = \yS)
\(f(x) = \a*(x-\xS)^2+\yS)
\draw{300,300}{
xrange = -5,7
yrange=-2,10
parallel -5,-2,-5,10,1,0,13,lightblue
parallel -5,-2,7,-2,0,1,13,lightblue
arrow -5,0,7,0,10,black
arrow 0,-2,0,10,10,black
text black,-0.2,-0.1,medium,0

text black,-1.1,-0.1,medium,-1
text black,-2.1,-0.1,medium,-2
text black,-3.1,-0.1,medium,-3
text black,-4.1,-0.1,medium,-4
text black,0.9,-0.1,medium,1
text black,1.9,-0.1,medium,2
text black,2.9,-0.1,medium,3
text black,3.9,-0.1,medium,4
text black,4.9,-0.1,medium,5
text black,5.9,-0.1,medium,6
text black,6.9,-0.1,medium,7
text black,-0.3,1.3,medium,1
text black,-0.3,2.3,medium,2
text black,-0.3,3.3,medium,3
text black,-0.3,4.3,medium,4
text black,-0.3,5.3,medium,5
text black,-0.3,6.3,medium,6
text black,-0.3,7.3,medium,7
text black,-0.3,8.3,medium,8
text black,-0.3,9.3,medium,9
plot green,\a*x^2
dline 1,0,1,\a,black
plot red,\a*(x-\xS)^2+\yS
arrow 0,0,\xS,\yS,10,black
text red,\xS,\yS-0.1,medium,S
dline \xS,\yS,\xS+1,\yS,black
dline \xS+1,\yS,\xS+1,\yS+\a,black
text red,\xS+1.1,0.5*\a+\yS,medium,a
text red,1.1,0.5*\a,medium,a
}

Le sommet a pour coordonnes (\xS ; \yS).
Le vecteur de la translation est :
<div class="wimscenter">\(\xS \vec{i}) \s \(\yS \vec{j}).</div>
</div>
